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Historias: La lógica

Un hombre está encerrado en una celda con dos puertas; una conduce a la muerte, otra a la libertad. Cada una está custodiada por un vigilante: uno de ellos siempre dice la verdad, el otro siempre miente. Sólo puede hacer una pregunta a uno de ellos: ¿cuál?

EI término lógica deriva de la palabra griega lógos (razón, palabra, discurso) y, por lo tanto, hace referencia a una ciencia que versa sobre los razonamientos y la argumentación, más en concreto, al estudio de por qué algunas conclusiones se siguen necesariamente de ciertos presupuestos dados. Esta primera aproximación, no obstante, peca de generalista, ya que cotidianamente utilizamos argumentos de toda índole (emocional o retórica) que no pueden ser denominados lógicos.
Lo que a la lógica le interesa fundamentalmente es un aspecto muy concreto de la argumentación: la validez, entendiendo por ella aquella relación entre unas proposiciones dadas y su conclusión, de la que se infiere necesariamente que, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión tiene que serlo también; dicho de otra manera, dada la verdad de ciertas premisas, la conclusión no puede ser falsa. En definitiva, la lógica es la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación, considerando como principios las leyes y reglas que rigen, estructuran y otorgan coherencia interna a cualquier argumento: bajo qué criterio es válido o justificable pasar de unas proposiciones dadas (premisas) a una conclusión que se deriva necesariamente de ellas. En este sentido, la lógica es algo inherente a cualquier ciencia, y ésa es la razón por la que, siendo una de las disciplinas más antiguas, goza en la actualidad de gran aceptación, pues está presente en la mayoría de los ámbitos del saber, desde la filosofía hasta las ciencias de la computación o inteligencia artificial.

El camino de la lógica y sus descubridores

Debemos la creación de esta disciplina a Aristóteles, con el que se inaugura la llamada lógica tradicional, que será ampliamente desarrollada y completada en los siglos siguientes por los estoicos y los filósofos medievales (escolástica). Era considerada como aquella parte de la filosofía que debía servir de propedéutica a todo conocimiento cierto. Por ello, su ámbito entroncaba con la ontología, la gnoseología, la psicología e, incluso, la metafísica.
El gran avance de la lógica se produjo en el siglo XVIII, cuando Leibniz decidió aplicar el método matemático a los razonamientos filosóficos y crear un lenguaje artificial (charasteristica universalis), que evitara cualquier imprecisión en el Calculus ratiocinator. Lo que fue esbozado y nunca cumplido por Leibniz alcanzó realidad en el siglo XIX con la obra de los matemáticos George Boole y Frege, que consiguieron matematizar la lógica deductiva, tanto la estoica (Boole) como la aristotélica (Frege). A partir de entonces, surge lo que se ha denominado lógica simbólica, lógica matemática y logística, cuya virtud radica en su mayor grado de exactitud y precisión, tanto en la «anotación» de las proposiciones, como en la formulación de sus reglas.
Tras la simbolización de la lógica llevada a cabo por estos autores, su desarrollo fue imparable y numerosos sus innovadores: B. Bolzano, C. S. Peirce, J. Venn, A. De Morgan, E. Schróder y G. Cantor. En el siglo XX, G. Peano simplificó bastante su formalización; N. Whitehead y Bertrand Russell continuaron esta línea. Desde entonces, la lógica se diversificó en distintas corrientes y campos de aplicación: la escuela intuicionista de L. E. J. Brouwer, la escuela formalista de J. Lukasiewicz; la lógica matemática de G. Gentzen, Kurt Gódel y A. Church. El intento de abrazar la totalidad de los discursos entroncó a la lógica con otras disciplinas, como la semiótica, la lingüística (N. Chomsky, R. Montague) o el lenguaje de la computación (Emil Post, Alan M. Turing, A. Newell, H. Simon).

Lógicas simbólicas

La lógica simbólica se fundamenta en los conceptos (nociones), entendidos como aquellas entidades mentales que tienen su correlato en las cosas o sustancias exteriores, así como en sus cualidades o atributos. Cuando estos conceptos se relacionan entre sí, dan lugar a los juicios, que, según el principio de bivalencia, pueden ser verdaderos o falsos, pero no ambas cosas a la vez o ninguna de ellas. La derivación de un juicio a partir de otros (premisas) se denomina inferencia; su tipo tradicional, creado por Aristóteles, es el silogismo.
Ahora bien, en la medida en que cualquier proposición posee un valor de verdad que ha de fundamentarse en última instancia en la experiencia o en los hechos, se hace necesario distinguir entre el sentido gramatical de una proposición y el lógico: sólo las proposiciones enunciativas, afirmativas o negativas, así como las condicionales y adversativas son lógicas. A las proposiciones interrogativas y exclamativas, sin embargo, no es posible atribuirles ningún valor de verdad. Precisamente es el principio de bivalencia el origen de la distinción entre las lógicas clásicas y las lógicas no clásicas. Las primeras aceptan dicho principio; las segundas, no. Este último tipo de lógicas, desarrolladas en el siglo XX, consideran que puede haber otros valores de verdad distintos a los de verdadero y falso, como, por ejemplo, el valor indeterminado. Destacan en este ámbito: R. Carnap, S. Kripke, J. Hintikka y E. J. Lemmon, P. Lorenzen, J. Lukasiewicz, J. B. Roser y K. Lambert.

Por regla general, cualquier argumento está compuesto de una serie de proposiciones simples o atómicas, relacionadas entre sí mediante ciertas expresiones lógicas, o conectores, que, debido a sus intrínsecas diferencias, darán lugar a dos tipos distintos de lógica simbólica:

Lógica de enunciados o cálculo de juntores

Utiliza conectores del tipo «y», «o», «no», «si... entonces» y «si y sólo si... entonces» para unir varias proposiciones, cuya verdad o falsedad dependerá de la verdad o falsedad de las proposiciones iniciales y de la naturaleza de las conectivas (juntares) utilizadas.
El cometido principal de la lógica de enunciados es analizar el valor de verdad de las proposiciones e inferir unas de otras mediante una serie de reglas de inferencia o deducción formal. Esta deducción puede ser directa o indirecta. En el primer caso, las premisas nos llevan a la conclusión de un modo positivo. En el segundo, apoyándonos en la imposibilidad de una contradicción, deducimos la conclusión deseada a partir de un supuesto hipotético que consiste en negar lo que se desea probar. La deducción indirecta recibe el nombre de reducción al absurdo (reductio ad absurdum).

Lógica de predicados o cálculo de cuantores

Analiza argumentos que utilizan partículas como: «todo», «algunos», «ninguno», etc. La silogística es parte de la lógica de predicados y estudia las proposiciones categóricas, en las cuales se puede distinguir un sujeto (S) y un predicado (P); de acuerdo a la cantidad, pueden dividirse en universales («todo») o particulares («alguno») y, dependiendo de la cualidad, pueden ser afirmativas (no interviene la negación) y negativas (interviene la partícula «no»). A partir de aquí, podemos establecer cuatro tipos de proposición categórica, cuyos esquemas serían los siguientes:

Universal afirmativa (todo S es P).
Universal negativa (ningún S es P).
Particular afirmativa (algún S es P).
Particular negativa (algún S no es P).

Paradojas y falacias

Para completar esta aproximación a la lógica, terminaremos con una referencia a las paradojas y las falacias. Las falacias, sofismas o paralogismos, pueden ser considerados como errores lógicos que van contra las reglas y leyes definidas de la lógica formal (falacias formales). Las paradojas atentan contra las reglas lógicas y presentan dos formas distintas: paradojas lógicas y paradojas semánticas. Ejemplo de paradoja lógica es la formulada por Bertrand Russell: La clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas pertenece a sí misma si y sólo si no pertenece a sí misma.
Esta clase de paradojas condujo al desarrollo de la teoría de los tipos. La segunda forma es la de las paradojas semánticas, como las de Zenón de Citio o la paradoja del mentiroso («la proposición siguiente es falsa. La proposición anterior es verdadera»). Las paradojas semánticas podrían quizá resolverse a partir de la distinción entre lenguaje y metalenguaje. En la lógica, el lenguaje objeto está constituido por sus símbolos y expresiones formales El metalenguaje es el utilizado para hablar de ese lenguaje lógico; en este caso, nuestro metalenguaje es el castellano.